Στα μονοπάτια της Λογικής Επιστήμης

Η φιλοσοφική γνώση προϋποθέτει μια σειρά νοητικών πράξεων που ανάγονται σε γενικεύσεις. Γνωρίζω ένα αντικείμενο αν έχω προσδιορίσει τις γενικές του ιδιότητες, αν το ταξινομήσω συνδέοντας το με γνώσεις υψηλότερης τάξης (το γνωρίζω και το από-γνωρίζω με προοδευτική αφαίρεση). Ούτε ο φιλόσοφος, όμως, συλλαμβάνει (τη γνώση) ατόφια: διαπιστώνει μόνο τη σκιά της. Δεν λέει αυτό είναι αυτό, αλλά αυτό δεν είναι εκείνο κλπ. Και ύστερα, ευχαριστημένος από τον εαυτό του, διαπράττει το ίδιο σφάλμα με τον πλησίον του, τον κοινό άνθρωπο, και λέει: Γνωρίζω το ΑΒ, αφού αναγνωρίζω το Α και το Β, που μου είναι ήδη γνωστά.

Η Λογική Επιστήμη εξετάζει τους συλλογισμούς μέσα από συναγωγές, έτσι ώστε τα συμπεράσματα να προκύπτουν από προκείμενους λόγους που όμως είναι παραγωγικά έγκυροι (δηλαδή, το συμπέρασμα είναι αληθές σε κάθε περίπτωση που οι προκείμενες είναι αληθείς). Η επιστήμη αυτή περιλαμβάνει πολλά στάδια εξέλιξης (κατανόηση της άρνησης, οι περιγραφές, οι υποθέσεις, οι ερμηνείες, τα παράδοξα για την ταυτότητα, η θεωρία των πιθανοτήτων, οι ασάφεια) για να φτάσει στις μέρες μας να χρησιμοποιεί πολύ τα μαθηματικά …
Συνεπώς, η Λογική Επιστήμη είναι η μελέτη των τρόπων συλλογισμού (εκείνων που ισχύουν, καθώς και των εσφαλμένων), όπως και η χρήση έγκυρων συλλογισμών που καθορίζονται από την λογική τους μορφή και όχι από το περιεχόμενο τους. Άτυπη λογική είναι η μελέτη των επιχειρημάτων της φυσικής γλώσσας (πχ. διάλογοι του Πλάτωνα). Τυπική λογική είναι η μελέτη της συμπερασματολογίας με καθαρά τυπικό περιεχόμενο.

Τα έργα του Αριστοτέλη περιέχουν την αρχαιότερη γνωστή τυπική μελέτη της λογικής. Συμβολική λογική είναι η μελέτη των συμβολικών αφαιρέσεων που λαμβάνουν υπόψη τους τα τυπικά γνωρίσματα του λογικού συμπεράσματος. Μαθηματική λογική είναι μια επέκταση της συμβολικής λογικής σε άλλα πεδία, ιδίως στη μελέτη της θεωρίας μοντέλων, της θεωρίας αποδείξεων, της θεωρίας συνόλων και της θεωρίας αναδρομής (Carneades.org, The Map Of Philosophy, https://www.youtube.com/watch?v=YxBShJU_CKs&t=18s).

Λουί Αραγκόν, Ανισέ ή το Πανόραμα

Στη μαθηματική λογική, μια θεωρία είναι ένα σύνολο από προτάσεις εκφρασμένες σε μια τυπική γλώσσα. Μερικές δηλώσεις σε μια θεωρία (τα αξιώματα) συμπεριλαμβάνονται χωρίς απόδειξη και άλλες (τα θεωρήματα) συμπεριλαμβάνονται, επειδή συνάγονται από τα αξιώματα. Ο Αυστροαμερικάνος επιστήμονας της λογικής, μαθηματικός και φιλόσοφος Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel, 1906–1978) άσκησε τεράστια επιρροή στην επιστημονική και φιλοσοφική σκέψη του 20ου αιώνα, κυρίως με τα δυο του θεωρήματα μη-πληρότητας της αλήθειας (1931).

Αυτά υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα τυπικά συστήματα των μαθηματικών και ερμηνεύονται ως απόδειξη στο πρόγραμμα του Πρώσου μαθηματικού Ντέιβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert, 1862-1943). Σύμφωνα με αυτό είναι αδύνατο να βρεθεί ένα πλήρες και συνεπές σύνολο από αξιώματα για όλα τα μαθηματικά. Δηλαδή, απέδειξε ότι η δυνατότητα του ανθρώπου να γνωρίζει είναι πεπερασμένη.

Θεώρημα 1ον: Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία.

Θεώρημα 2ον: Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

Η φιλοσοφική διερεύνηση της Λογικής

Η φιλοσοφία αναπτύχθηκε μέσα από δύο διανοητικά εργαλεία που καλλιέργησε ο άνθρωπος, τη λογική και τις φιλοσοφικές μεθόδους που κυρίως στηρίζονται σε εισαγωγικά επιχειρήματα (introductive arguments). Η λογική έχει αφενός την έννοια της διατύπωσης έγκυρων συλλογισμών, αφετέρου είναι η ανάλυση των τρόπων συλλογισμού (επιστήμη της Λογικής).

Μέσα στο χρόνο η ιδιότητα της λογικής καλλιεργήθηκε συστηματικά από τον άνθρωπο, ο οποίος συνειδητοποίησε και διαμόρφωσε τυπικούς κανόνες, πάνω στους οποίους στηρίχθηκαν τα μαθηματικά και ανέπτυξε τη λογική σε πολλές κατηγορίες και υποκατηγορίες. Ο χάρτης της λογικής καταδεικνύει το βάθος και το εύρος του ανθρώπινου νου, αλλά και τα δύσβατα μονοπάτια που συχνά παίρνει η λογική.

Οι εναλλακτικές λογικές καταδεικνύουν την πλαστικότητα του ανθρώπινου εγκέφαλου και την αστείρευτη δυνατότητά του να εφευρίσκει ασφαλείς διόδους για την ολοκλήρωση της σκέψης. Σήμερα, η Λογική χωρίζεται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: Την κλασσική λογική (Formal Classical Logic), τη μη κλασσική λογική (Non-Classical Logic) και την άτυπη λογική (Informal Logic).

H κλασσική λογική (Formal Classical Logic), η οποία αναπτύχθηκε σε δύο κατευθύνσεις: την Προτατική λογική (Propositional Logic) που ασχολείται με θέσεις (statements) και προτάσεις (propositions) και έχει ένα μακροσκοπικό χαρακτήρα (macrologic), και την Κατηγορική λογική (categorical logic) που αναφέρεται σε υποκείμενα (subjects) και σε κατηγορίες (predicates), έχει σε μικροσκοπικό χαρακτήρα (micrologic).

Ο συνδυασμός των δύο αυτών κατευθύνσεων της λογικής επιτρέπει οι θέσεις, οι προτάσεις και τα αντικείμενα να κατηγοριοποιηθούν, να ποσοτικοποιηθούν και να αναπτυχθεί ο λογισμός (calculus). Μέσα από αυτές τις λογικές διεργασίες, η σκέψη οδηγείται στην Ανώτατη Τάξη της Λογικής (Higher Order Logic), η οποία ασχολείται με τις κατηγορίες και όχι τα αντικείμενα και η οποία αναπτύχθηκε σε τρία πεδία: α) στην Τυπική Θεωρία (Type Theory) / Μπέρναντ Ράσσελ, β) στην Θεωρία των Συνόλων (Set Theory)/ Γκέοργκ Κάντορ, και στην Φιλοσοφία των Μαθηματικών (Philosophy of Mathematics).

Στην κλασσική λογική εντάσσεται ένας βοηθητικός κλάδος, της λεγόμενης Τυπικής Λογικής (Modal Logic) που αναπτύχθηκε αυτόνομα κι αυτός σε τέσσερεις βασικές κατευθύνσεις: Την Λογική της Τυπικής Αλήθειας (Alethic Modal Logic) που ασχολείται με τις πιθανότητες και την αναγκαιότητα, την Χρονική Λογική (Temporal Logic) που διερευνά την λογική του χρόνου, του παρελθόντος και του μέλλοντος, την Επιστημολογική Λογική (Epistemic Logic) που αποτιμά τη Λογική της Γνώσης, της Πίστης και της Αιτιολόγησης και τέλος, την Δεοντολογική Λογική (Deontic Logic) που διερευνά τη λογική των Ηθών και των υποχρεώσεων.

Ανάμεσα στο αληθινό και το ψεύτικο

Η Μη κλασική λογική (Non-Classical Logic) ουσιαστικά απορρίπτει τα ερωτήματα που θέτει η κλασική λογική, τις κατασκευές και τις θεωρίες της και ακολουθεί πολλά διαφορετικά μονοπάτια. Ειδικότερα, η Ασαφής Λογική (Fuzzy / Many Valued Logic) που κινείται σε πεδία ανάμεσα στο αληθινό και το ψεύτικο, η Υπολογιστική Λογική (Computability Logic) που δεν αναζητά το αληθινό, αλλά αυτό που μπορούμε να αποδείξουμε.

Επίσης, η Γραμμική Λογική (Linear Logic) που ακολουθεί διαισθητικούς συλλογισμούς που επεξεργάζεται με τους κανόνες της κλασσικής λογικής, η Μη Αυτοπαθής Λογική (Non – Reflexive Logic) η οποία αρνείται το νόμο της ταυτότητας, η Λογική της Συνάφειας (Relevance Logic) που διερευνά τους όρους της λογικής και η Διαισθητική Λογική (Intuition Logic) που αρνείται το νόμο των αποκλειόμενων ενδιάμεσων και ερωτήσεων.

Επιπλέον, στη μη κλασσική λογική εντάσσονται λογικές αναλύσεις που εκκινούν από ερωτήματα πάνω στις βασικές αρχές (basic tenets) της κλασσικής λογικής, αλλά ακολουθούν ιδιαίτερες αναλυτικές μεθόδους, όπως οι Λογικές Ελλιπούς Συνέπειας (Paraconsistent Logic) που επιχειρούν να αντιμετωπίσουν αντιφάσεις με τρόπο διακριτικό ή οι Μη Μονοτονικές Λογικές / Λογικές Αποδεικτικής Εκκρεμότητας (Non – Monotonic Logic) που επιδιώκουν να συλλάβουν αόριστα συμπεράσματα, με δυσανάγνωστο σκεπτικό, ώστε να καταλήξουν σε προσωρινά συμπεράσματα, αναμένοντας περισσότερα αποδεικτικά στοιχεία.

Η Άτυπη Λογική (Informal Logic) κινείται κυρίως στο χώρο της θεωρίας των επιχειρημάτων που αναπτύσσονται ως επαγωγικά συμπεράσματα προηγηθέντων συλλογισμών. Πρόκειται για επαγωγικά είδη λογικής που στηρίζονται σε προτάσεις που εγγυώνται μη δικαιολογημένα επιχειρήματα (http://www.cs.uoi.gr/~arly/courses/ai/slides/fuzzy_logic.pdf).

---

(1)
(2)
(3)